πMatma StartKonto →
Lekcja krok po kroku

Środek symetrii – definicja i przykłady

Środek symetrii figury to punkt, względem którego każdy punkt figury ma swój symetryczny odpowiednik należący do tej samej figury. Obrót o 180° wokół tego punktu nakłada figurę na siebie.

3 kroki3 przykłady10 ćwiczeń
Cel lekcji

Po tej lekcji potrafisz samodzielnie rozwiązywać zadania z tematu „Środek symetrii figury” i sprawdzać poprawność wyniku.

Geometria w ruchu

Zbuduj figurę i zmieniaj jej wymiary

Zmieniaj boki oraz wysokość. Figura i jej wynik przeliczają się natychmiast.

Figura o zmiennych wymiarachpodstawa = 5h = 3
Pole figury5 · 3 = 15jednostek kwadratowych
1

Najpierw zobacz i poruszaj. Potem nazwij to, co się zmieniło. Dopiero na końcu zapisz działanie matematyczne.

01
Zacznij od sensu

Zrozum pojęcie

Zanim użyjesz wzoru lub algorytmu, zobacz, co naprawdę oznacza ten temat.

Najprościej mówiąc

W geometrii nie wystarczy ocenić rysunku wzrokiem. Rozwiązanie opieramy na definicjach, oznaczeniach i znanych własnościach figur. Najpierw wypisz dane, zaznacz je na rysunku, a potem wybierz zależność, która łączy je z szukaną wielkością.

Przyda Ci się
  • ✓Swobodne wykonywanie działań i zapisywanie kolejnych etapów rozwiązania.
  • ✓Posługiwanie się linijką, ekierką i podstawowymi jednostkami długości.
Gdzie to spotkasz?

Geometria jest potrzebna w budownictwie, projektowaniu, mapach, grafice komputerowej i pomiarach.

Słowa, które warto znać
własność figury

Cecha prawdziwa dla każdej figury danego rodzaju.

dane

Informacje podane w treści lub zaznaczone na rysunku.

wniosek

Nowa informacja wynikająca z danych i znanych własności.

02
Teraz poznaj sposób

Metoda rozwiązania

W podobnych zadaniach wykonuj te czynności zawsze w tej samej kolejności.

  1. 1
    Krok 1

    Znajdź punkt kandydat na środek.

  2. 2
    Krok 2

    Wyobraź sobie obrót figury o 180°.

  3. 3
    Krok 3

    Sprawdź pary odpowiadających wierzchołków.

Dlaczego to działa?

Twierdzenia geometryczne opisują zależności prawdziwe niezależnie od wyglądu konkretnego rysunku. Dlatego zapis własności jest pewniejszy niż mierzenie obrazka.

03
Zobacz na przykładzie

Rozwiązania krok po kroku

Najpierw spróbuj samodzielnie. Dopiero później rozwiń rozwiązanie.

01Przykład 1Spróbuj rozwiązać przykład 1Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie⌄
Rozwiązanie

Przejdź po kolei przez każdy zapis.

  1. 1

    Równoległobok ma środek symetrii w punkcie przecięcia przekątnych.

02Przykład 2Spróbuj rozwiązać przykład 2Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie⌄
Rozwiązanie

Przejdź po kolei przez każdy zapis.

  1. 1

    Okrąg ma środek symetrii w swoim środku.

03Przykład 3Spróbuj rozwiązać przykład 3Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie⌄
Rozwiązanie

Przejdź po kolei przez każdy zapis.

  1. 1

    Trójkąt nie ma środka symetrii.

Wyjaśnienia i dodatkowe zadania

Jak rozpoznać środek symetrii?

Wybierz punkt S i dowolny punkt A figury. Jego odpowiednik A′ powinien leżeć na prostej AS, po drugiej stronie S i w takiej samej odległości od S. Punkt S jest wtedy środkiem odcinka AA′. Sam punkt S podczas przekształcenia pozostaje na miejscu.

Warunek musi działać dla wszystkich punktów figury. Jedna pasująca para nie wystarcza, aby dowieść symetrii całej figury. Dla wielokąta sprawdź pary przeciwległych wierzchołków i odpowiadające im boki.

Które figury mają środek symetrii?

Odcinek ma środek symetrii w połowie długości. Równoległobok, prostokąt, romb i kwadrat mają go w punkcie przecięcia przekątnych. Koło i okrąg mają środek symetrii w swoim środku.

Trójkąt nie ma środka symetrii. Dotyczy to także trójkąta równobocznego: ma on osie symetrii, ale po obrocie o 180° nie pokrywa się z położeniem początkowym. Oś symetrii jest prostą, a środek symetrii punktem — to różne pojęcia.

Środek symetrii w układzie współrzędnych

Aby znaleźć środek odcinka o końcach A i A′, oblicz średnią współrzędnych x oraz średnią współrzędnych y. Dla A = (2, 3) i A′ = (8, 9) otrzymujesz S = (5, 6). Jeśli znasz S i A, współrzędne A′ obliczysz, odejmując współrzędne A od podwojonych współrzędnych S.

Zadania z rozwiązaniami

Najpierw spróbuj rozwiązać zadanie samodzielnie. Następnie rozwiń rozwiązanie i porównaj kolejne kroki.

Zadanie 1. Wyznacz środek symetrii punktów A = (2, 3) i A′ = (8, 9).Rozwiązanie krok po kroku
  1. Oblicz (2 + 8) : 2 = 5.
  2. Oblicz (3 + 9) : 2 = 6.
  3. Od punktu S do obu końców przesunięcia mają tę samą długość i przeciwne zwroty.

Odpowiedź: S = (5, 6).

Zadanie 2. Znajdź obraz punktu A = (1, 4) względem S = (3, 2).Rozwiązanie krok po kroku
  1. Współrzędna x obrazu: 2 · 3 − 1 = 5.
  2. Współrzędna y obrazu: 2 · 2 − 4 = 0.
  3. Średnie współrzędnych A i A′ wynoszą 3 i 2.

Odpowiedź: A′ = (5, 0).

Zadanie 3. Czy trójkąt równoboczny ma środek symetrii?Rozwiązanie krok po kroku
  1. Wyobraź sobie obrót o pół obrotu, czyli 180°.
  2. Wierzchołki obróconego trójkąta nie pokrywają się z wierzchołkami wyjściowymi.

Odpowiedź: Nie. Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii, ale nie ma środka symetrii.

Częste pytania

Gdzie jest środek symetrii prostokąta?
W punkcie przecięcia jego przekątnych. Ten punkt jest jednocześnie środkiem obu przekątnych.
Czy środek symetrii musi należeć do figury?
Nie. Środek okręgu jest jego środkiem symetrii, ale nie leży na okręgu. Należy natomiast do koła.
04
Utrwal wiedzę

Najważniejsze przed ćwiczeniami

✓
Zapamiętaj

Najważniejszy krok: Znajdź punkt kandydat na środek. Na końcu zawsze sprawdź znak, jednostkę i sens otrzymanego wyniku.

!
Częsty błąd

Nie opieraj odpowiedzi wyłącznie na wyglądzie rysunku. Zapisz znane własności figury i dopiero z nich wyciągnij wniosek.

?
Szybkie sprawdzenieCo należy zrobić przed rozpoczęciem obliczeń na rysunku geometrycznym?
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź

Wypisz dane, zaznacz je na rysunku i nazwij własności figury, których można użyć.