Zrozum pojęcie
Zanim użyjesz wzoru lub algorytmu, zobacz, co naprawdę oznacza ten temat.
Potęga jest krótkim zapisem wielokrotnego mnożenia tej samej liczby. Pierwiastek wykonuje działanie odwrotne — szuka liczby, która podniesiona do odpowiedniej potęgi daje liczbę podpierwiastkową. Wzory stosujemy dopiero po sprawdzeniu podstaw i wykładników.
- ✓Swobodne wykonywanie działań i zapisywanie kolejnych etapów rozwiązania.
- ✓Mnożenie, dzielenie i rozkład liczb na czynniki.
Potęgi opisują bardzo duże i bardzo małe liczby, pola i objętości, a pierwiastki pomagają obliczać długości.
Liczba, którą wielokrotnie mnożymy przez siebie.
Liczba mówiąca, ile razy podstawa występuje jako czynnik.
Działanie odwrotne do potęgowania.
Metoda rozwiązania
W podobnych zadaniach wykonuj te czynności zawsze w tej samej kolejności.
- 1Krok 1
Połącz potęgi o tej samej podstawie.
- 2Krok 2
Rozłóż liczbę pod pierwiastkiem na pełny kwadrat i pozostały czynnik.
- 3Krok 3
Dodawaj tylko jednakowe pierwiastki.
Zapis aⁿ oznacza dokładnie n jednakowych czynników a. Reguły działań na potęgach wynikają z liczenia tych czynników.
Rozwiązania krok po kroku
Najpierw spróbuj samodzielnie. Dopiero później rozwiń rozwiązanie.
01Przykład 12⁵·2³:2⁴=2⁴ = ?Pokaż rozwiązanie⌄
Przejdź po kolei przez każdy zapis.
- 1
2⁵·2³:2⁴=2⁴=16.
02Przykład 2√108=√(36·3) = ?Pokaż rozwiązanie⌄
Przejdź po kolei przez każdy zapis.
- 1
√108=√(36·3)=6√3.
03Przykład 33√2+5√2-√2 = ?Pokaż rozwiązanie⌄
Przejdź po kolei przez każdy zapis.
- 1
3√2+5√2-√2=7√2.
Wyjaśnienia i dodatkowe zadania
Pierwiastek kwadratowy i sześcienny
Zapis √a oznacza pierwiastek kwadratowy. Dla liczb rzeczywistych a musi być nieujemne, a wynik również jest nieujemny. Dlatego √36 = 6, a nie −6. Równanie x² = 36 ma natomiast dwa rozwiązania: 6 i −6. To inne pytanie niż obliczenie √36.
Pierwiastek sześcienny ∛a to liczba, której trzecia potęga wynosi a. Może dotyczyć także liczb ujemnych: ∛(−8) = −2, ponieważ (−2)³ = −8. W obu przypadkach sprawdzaj wynik przez potęgowanie.
Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka
Szukaj kwadratu liczby naturalnej będącego dzielnikiem liczby pod pierwiastkiem. Ponieważ 72 = 36 · 2, mamy √72 = √36 · √2 = 6√2. Największy możliwy kwadrat skraca liczbę potrzebnych kroków.
Możesz też włączyć dodatni czynnik pod pierwiastek: 3√5 = √9 · √5 = √45. Przed włączeniem czynnika pod pierwiastek kwadratowy trzeba go podnieść do kwadratu.
Dodawanie, mnożenie i szacowanie pierwiastków
Dodawaj współczynniki przy jednakowych pierwiastkach: 3√2 + 5√2 = 8√2. Wyrażeń √2 + √3 nie wolno zastąpić przez √5. Najpierw uprość pierwiastki, jeśli nie są jednakowe: √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2.
Dla a i b nieujemnych można stosować √a · √b = √(a · b). Przy dzieleniu dodatkowo b musi być dodatnie. Aby oszacować √20, znajdź sąsiednie kwadraty: 16 < 20 < 25, więc 4 < √20 < 5.
Zadania z rozwiązaniami
Najpierw spróbuj rozwiązać zadanie samodzielnie. Następnie rozwiń rozwiązanie i porównaj kolejne kroki.
Zadanie 1. Uprość √108.Rozwiązanie krok po kroku
- Rozłóż 108 = 36 · 3.
- Zapisz √108 = √36 · √3.
- Oblicz √36 = 6.
Odpowiedź: √108 = 6√3.
Zadanie 2. Oblicz √8 + √18.Rozwiązanie krok po kroku
- √8 = √(4 · 2) = 2√2.
- √18 = √(9 · 2) = 3√2.
- Dodaj współczynniki: (2 + 3)√2.
Odpowiedź: √8 + √18 = 5√2.
Zadanie 3. Między jakimi kolejnymi liczbami całkowitymi leży √50?Rozwiązanie krok po kroku
- 7² = 49, a 8² = 64.
- 49 < 50 < 64.
- Porównaj pierwiastki tych liczb.
Odpowiedź: 7 < √50 < 8.
Częste pytania
- Czy √9 ma dwa wyniki?
- Nie. √9 = 3. Dwa rozwiązania, 3 i −3, ma równanie x² = 9.
- Czy można dodawać liczby pod pierwiastkami?
- Nie ma takiej ogólnej reguły. Na przykład √9 + √16 = 3 + 4 = 7, natomiast √(9 + 16) = √25 = 5.
Najważniejsze przed ćwiczeniami
Najważniejszy krok: Połącz potęgi o tej samej podstawie. Na końcu zawsze sprawdź znak, jednostkę i sens otrzymanego wyniku.
Najpierw sprawdź podstawy i wykładniki. Wzory na potęgi można stosować tylko wtedy, gdy spełnione są ich warunki.
?Szybkie sprawdzenieCo oznacza zapis 3⁴?Sprawdź odpowiedź
3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.