Własności liczb naturalnych – klasa 5

Liczby naturalne, dzielniki i wielokrotności

Liczby naturalne służą między innymi do liczenia przedmiotów. W tym materiale przyjmujemy zapis 0, 1, 2, 3, …; w zadaniach wymagających liczb dodatnich zaczynamy od 1. Dodawanie i mnożenie liczb naturalnych daje liczbę naturalną, ale odejmowanie i dzielenie nie zawsze: 3 − 5 jest ujemne, a 3 : 2 nie jest liczbą naturalną.

Dodatni dzielnik liczby dzieli ją bez reszty. Dzielniki 12 to 1, 2, 3, 4, 6 i 12. Wielokrotności 12 otrzymujemy przez mnożenie 12 przez kolejne liczby naturalne: 0, 12, 24, 36, … . Dzielników dodatniej liczby jest skończenie wiele, a jej wielokrotności nieskończenie wiele.

Cechy podzielności przez 2, 3, 5, 9 i 10

Liczba jest podzielna przez 2, gdy jej cyfra jedności to 0, 2, 4, 6 lub 8. Przez 5 dzielą się liczby zakończone cyfrą 0 lub 5, a przez 10 liczby zakończone zerem.

O podzielności przez 3 i 9 decyduje suma cyfr. Dla 345 suma wynosi 3 + 4 + 5 = 12, więc 345 jest podzielne przez 3, ale nie przez 9. Sama ostatnia cyfra nie wystarczy do sprawdzenia tych dwóch cech.

Liczby pierwsze i złożone

Liczba pierwsza jest większa od 1 i ma dokładnie dwa dodatnie dzielniki: 1 i samą siebie. Przykłady to 2, 3, 5, 7, 11 i 13. Liczba złożona jest większa od 1 i ma więcej niż dwa dodatnie dzielniki, na przykład 12. Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone.

Jak obliczać NWD i NWW?

NWD to największy wspólny dzielnik. Użyj go, gdy dzielisz dwie ilości na jednakowe, możliwie duże grupy bez reszty. NWW to najmniejsza wspólna dodatnia wielokrotność. Pomaga ustalić, kiedy dwa powtarzające się zdarzenia wystąpią jednocześnie.

Możesz wypisać dzielniki lub wielokrotności, a dla większych liczb zastosować rozkład na czynniki pierwsze. Przy NWD wybieraj wspólne czynniki w najmniejszych liczbach wystąpień. Przy NWW uwzględnij wszystkie czynniki w największych liczbach wystąpień.

Zadania z rozwiązaniami

Najpierw spróbuj rozwiązać zadanie samodzielnie. Następnie rozwiń rozwiązanie i porównaj kolejne kroki.

Częste pytania

Czy 1 jest liczbą pierwszą?

Nie. Ma tylko jeden dodatni dzielnik, a liczba pierwsza musi mieć dokładnie dwa.

Czym różnią się NWD i NWW?

NWD dzieli obie liczby bez reszty i jest największą taką liczbą. NWW jest podzielne przez obie liczby i jest najmniejszą dodatnią liczbą o tej własności.